Functii injective, surjective, bijective

Exerciții rezolvate

  1. Fie D = [0, ∞) și funcția f : D → D , f (x) = 4x2. Să se studieze bijectivitatea funcției.

Rezolvare.

O funcție bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.

a) injectivitatea funcției

fie x1, x2 ∈ D astfel încât f (x1) = f (x2) ⇒ 4x11 = 4x22 ⇒ 4x11 – 4x2= 0 ⇒

⇒ 4 (x11 – x22) = 0 ⇒ x11 – x2= 0 ⇒ (x1 – x2)(x1 + x2) = 0 . Deci avem două posibilități: fie x1 – x2 = 0, fie x1 + x2 = 0.

Dacă x1 – x2 = 0 ⇒ x1 = x2

Dacă x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = – x2, dar cum x1, x2  sunt mai mari sau egale cu zero rezultă că x1 = x= 0

Cum în amândouă situațiile am obținut x1 = x2 înseamnă ca funcția e injectivă (f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 )

b) surjectivitatea funcției

001

deci funcția este surjectivă.

Pentru că funcția e injectivă și surjectivă ⇒ funcția e bijectivă

 

Exerciții propuse:

Să studieze injectivitatea și surjectivitatea următoarelor funcții:

  1. Funcția de la exemplul 1, dar luând D = R

f : RR , f (x) = x2 + 3

2. f : RR , f (x) = x3 + 2

 

 

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s