Determinanți (calcul și proprietăți) (în lucru)

Proprietăți (doar o parte. Pentru restul consultați manualul):

  1. Dacă toate elementele unei linii/coloane dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  2. Dacă într-o matrice schimbăm două linii/coloane între ele, obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
  3. Dacă o matrice are două linii/coloane identice, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  4. Dacă elementele a două linii/coloane ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  5. Dacă la o linie/coloană a unei matrice A adunăm elementele altei linii/coloane înmulțite cu acelați număr. Notăm cu B matricea obținută în urma acestor operații. Atunci det(A) = det(B).

Exerciții rezolvate:

1.Să se calculeze valoarea determinantului (n = 2):

010

Rezolvare:

Valoarea va fi dată de diferența dintre produsul elementelor de pe prima diagonală (\) și produsul elementelor de pe a doua diagonală (/):

= 3×2 – (-1)x6 = 12

 

2.Să se calculeze valoarea determinantului (n = 3):

008

Rezolvare.

Vom folosi metoda lui Sarrus. Vom copia primele două linii:

009

Se vor înmulți elementele de pe diagonalele care conțin 3 elemente. Astfel produsul de pe diagonala \ va avea semnul “+”, iar produsul elementelor de pe diagonala / va avea semnul “-“. Deci valoarea determinantului va fi:

= 3x2x1 + 6x(-7)x2 + 2x(-1)x5 – 2x2x2 – 5x(-7)x3 – 1x(-1)x6 = 6 – 84 – 10 – 6 + 105 + 6 = 17

3. Să se calculeze valoarea determinantului (n = 4):

011

Rezolvare

Metoda 1.

Vom folosi proprietățile pentru a obține pe o linie sau coloană cât mai multe elemente egale cu zero. De exemplu, putem alege coloana a 3-a. O înmulțim cu 6 și o adunăm la prima coloană (celelalte coloane vor rămâne neschimbate).

002

Apoi înmulțim coloana a 3-a cu 3 și o adună la a doua coloană:

003

În final vom înmulți coloana a 3-a cu 2 și o vom aduna la coloana a 4-a:

004

Acum vom “desface” determinantul după a doua linie. Pentru că primele două elemente de pe linia a 2-a și al 4-lea sunt 0, atunci vom avea de calculat un singur determinat de ordin 3. Pe primul loc va fi (-1) la puterea dată de suma dintre nr liniei și nr coloanei (2+3) înmulțit cu elementul nenul (-1) înmulțit cu determinatul obținut prin eliminarea liniei și coloanei pe care se află elementul nenul. Cum -1 la puterea a 5-a este -1 și înmulțit cu coeficientul -1 obținem în fața determinatului 1. Concret vom avea de calculat:

005

= -671

Metoda 2 (nu o recomand)

Fără a aplica proprietățile determinanților putem dezvolta după o linie/coloană. De exemplu putem “desface” determinantul după prima linie:

006

Observăm că valoarea ultimului termen este zero (deoarece avem o înmulțire cu zero), iar la termenul 2 și termenul 3 putem da factor comun 2. Atunci vom obține:

007

= 7 ( 3x2x1 + (-1)x5x2 + 6x(-7)x2 – 2x2x2 – (-7)x5x3 – (-1)x6x1) – 8 ( 3x2x1 + (-1)x5x4 +

+2x2x(-7) – 4x2x2 – 3x5x(-7) – 2x(-1)x1) + 4 (3x6x1 +3x4x5 +2x2x2 – 4x6x2 –

– 5x3x2 – 2x3x1) = 671

 

Exerciții propuse

  1. Să se calculeze valoarea determinanților (n=2):

012

2.Să se calculeze valoarea determinanților (n=3):

001

3.Să se calculeze valoarea determinanților(n-4):

 

Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s