Aplicații proprietatea lui Darboux (pD)

Exerciții rezolvate

1.Fie funcția:

043

Să se stabilească semnul funcției pe 044.

Rezolvare

Determinăm soluțiile ecuației f(x) = 0 ⇒ x2 – x = 0 ⇒ x(x-1) = 0 ⇒ x1 = 0 și x2 = 1. Cf pD pe fiecare dintre intervalele (-∞ , 0) , (0,1) , (1, +∞) avem semn constant. Pentru a afla semnul vom lua o valoare pe fiecare interval și vom calcula valoarea funcției pentru acea valoare:

f (-1) = 2 > 0 ⇒ f  este pozitivă pentru intervalul (-∞ , 0)
f (1/2) = -1/4 < 0 ⇒ f  este negativă pentru intervalul (0 , 1)
f (2) = 2 > 0 ⇒ f  este pozitivă pentru intervalul (1, +∞)

2.Să se rezolve inecuația (x2 – x – 2) lg x > 0

Rezolvare.

Vom pune condiția de existență a logaritmului ⇒ D = (0, +∞). Vom asocia o funcție f(x) = f1(x)f2(x), unde f1(x) = x– x – 2 și f2(x) = lgx . Prima funcție se anulează în x1 = -1 și x2 = 2, iar a doua funcție se anulează pentru x3 = 1. Pentru a stabili semnul funcției vom face următorul tabel:

046

Așa cum putem observa din tabel avem semnul funcției pozitiv pentru x între 1 și 2, deci soluția inecuației este x ∈ (1 , 2)

Exerciții propuse

Să se studieze semnul următoarelor funcții:

  1. f(x)= x4 – 10x2 + 9
  2. f(x)= 2x3 + 3x2 – 3x – 2
  3. f(x)= (x2-4)lgx ≤ 0
  4.  f(x) = (x + 1)ln(-x), pentru  x ∈ ( – ∞ , 0 )
  5.   f(x) = sin x + cos x, pentru x ∈ [0 , π/2]
  6.  f(x) = 1 + 2 lnx
  7.  f(x) = ln2x – 3lnx + 2
Advertisements
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s